Лауреат всероссийских и международных конкурсов. Обладатель первой премии I Всероссийского музыкального конкурса в номинации «Дирижирование оркестром народных инструментов» (2013). В июне 2022 года стал лауреатом I Международного музыкального конкурса пианистов, дирижёров и композиторов им. С.В. Рахманинова в Москве.
С 2021 года — художественный руководитель и главный дирижёр Академического симфонического оркестра им. С.В. Рахманинова (Тамбов). С 2016 года — главный дирижёр Липецкого государственного оркестра русских народных инструментов.
Родился в 1984 году в Магнитогорске. Окончил Тамбовский государственный музыкально-педагогический институт им. С.В. Рахманинова по классам балалайки у профессора Андрея Горбачёва и дирижирования у Алексея Артемьева. Кандидат искусствоведения.
Выступал в качестве дирижёра и солиста (балалайка) с Национальным академическим оркестром народных инструментов России им. Н.П. Осипова (Москва), Губернаторским оркестром народных инструментов Вологодской области (Череповец), Нижегородским русским оркестром, Государственным концертным оркестром Якутии, оркестром «Россияне», Государственным оркестром Ульяновской филармонии. Дирижировал премьерами сочинений Александра Чайковского, Ефрема Подгайца, Михаила Броннера, Натальи Хондо и других современных композиторов.
Сотрудничал с оперным театром Российской академии музыки им. Гнесиных в качестве дирижёра постановок опер «Севильский цирюльник» Дж. Россини, «Евгений Онегин» и «Пиковая дама» П. Чайковского, «Богема» Дж. Пуччини и других.
В 2021 году возглавил только что созданный Академический симфонический оркестр им. С.В. Рахманинова. За менее чем двухлетний период существования коллектив под руководством Алексея Моргунова дал более 100 концертов, посетил все районы Тамбовской области, принял участие во Всероссийском фестивале симфонических оркестров «Настоящее» (Саранск) и Международном музыкальном фестивале им. С.В. Рахманинова (Тамбов), провёл в Музее-заповеднике С.В. Рахманинова «Ивановка» собственный фестиваль «Красная аллея» (2022).
Кроме того, Алексей Моргунов — талантливый педагог. Более 15 лет он работает преподаёт в Детской музыкальной школе № 2 им. В.К. Мержанова, где ведёт класс балалайки, ансамбля, оркестра, и в колледже при Тамбовском музыкально-педагогическом институте. Является победителем общероссийского конкурса «Лучший преподаватель детской школы искусств» (2013). Его ученики включены в программы Министерства культуры России и Международного благотворительного фонда В. Спивакова, выступали в эфире центральных каналов российского телевидения, более 200 раз становились лауреатами региональных конкурсов и фестивалей, более 80 раз добивались успеха на всероссийских и международных конкурсах.